폰 노이만은 수학, 컴퓨터공학, 경제학, 물리학, 생물학 등 분야를 가리지 않는 다양한 업적을 남긴 천재 수학자입니다. 6살때부터 신동 소리를 들으며 자랐으며, 12살때 전문 수학자의 수준에 이르러 있었고, 17살에는 베를린 대학에서 화학을 공부하였으며, 19살에 부다페스트 대학 수학과에 입학했을 때는 이미 당대 최고의 학자들과 교류를 나누는 일류 수학자였습니다. 젊은 시절에는 주로 수학 이론을 최신 물리학에 적용함으로써 이론물리학자로서 명성을 얻었고, 그 후엔 자신의 관심을 끄는 분야라면 어느 곳이고 가리지 않고 뛰어들어 순수수학과 응용수학을 가리지 않고 유감없이 재능을 발휘했습니다.
28세의 나이에 프린스턴 대학의 객원 교수에 취임하였을 때는 이미 당시 가장 유명한 수학자 중 한사람이었으며, 원자폭탄 개발 계획인 맨해튼 프로젝트와 이후의 수소폭탄 개발 계획에도 참여했습니다. 히로시마의 참극에 충격을 받아 원자탄 반대론자로 돌아선 많은 동시대의 동료들과는 달리 그는 원자폭탄의 적극적 찬성자였으며, 수소폭탄 실험을 직접 참관하기도 하였는데, 나중에 그가 암으로 사망한 이유는 수소폭탄 실험에서 받은 방사능 때문이라고 말하는 사람들도 있습니다.

폰 노이만은 현대 경제학 이론을 특징짓는 중요한 이론들 중 하나인 게임이론의 창시자입니다. 게임이론은 두 명의 경제 주체가 자신의 이익을 최대화하기 위해 경쟁할 때 가장 최적의 행동을 찾는 방법에 관한 이론으로, 제로-섬 게임 이라는 용어를 낳았으며, 이후 내시의 균형 이론과 함께 더욱 발전하여 기존 아담 스미스의 '개인의 최대 이익이 곧 전체의 최대 이익이다'라는 고전 경제학의 입장을 완전히 뒤엎는 계기가 됩니다. 또한, 게임 이론은 군사 전략에도 이론적으로 응용될 여지가 많아, 그가 2차대전 이후에도 지속적으로 군의 관심을 받는 계기가 됩니다.

폰 노이만의 가장 큰 업적은 현재와 같은 CPU, 메모리, 프로그램 구조를 갖는 범용 컴퓨터 구조의 확립입니다. ENIAC으로 대표되는 이전까지의 컴퓨터는 새로운 계산을 할때마다 엔지니어들이 달려들어 진공관 회로의 스위치를 처음부터 하나하나 조정하여 새 입력을 처리해야 하는 방식이었습니다. 폰 노이만은 맨해튼 프로젝트에 참여할 당시 발표한 논문 <전자계산기의 이론 설계 서론>에서 CPU, 메모리, 프로그램 구조를 갖는 프로그램 내장 방식 컴퓨터의 아이디어를 처음 제시하였고, 7년 후 케임브리지 대학교의 의뢰로 자신이 주창한 세계 최초의 프로그램 내장 방식 컴퓨터 EDSAC을 제작합니다. 이후에 나온 컴퓨터는 신경망 컴퓨터와 같은 실험적 성격이 강한 것들을 제외하면 모두 폰 노이만의 설계를 기본 구조로 디자인되고 있습니다.

또한, 그는 인공생명을 이론적으로 연구한 최초의 학자입니다. 그는 생명체를 자기 자신을 복제하여 번식할 수 있는 시스템으로 보고, 순수하게 정보이론적 입장에서 '자기복제'가 무엇인가를 연구했습니다. 그는 생명체가 스스로의 정보를 내장한 '설계도'(DNA)를 가져야 함을 보이고, 그 '설계도'는 생명체의 정보대로 실제 생명체를 재구성할 수 있는 '관리자'(RNA)를 가져야 하며, '관리자'는 '설계도'대로 생명체를 재구성한 후, 생명체 안에 새로운 '설계도'를 복사해 넣음으로써 생명체를 복제하는 구조를 가져야 함을 수학적으로 증명하였습니다. 노이만의 증명은 노이만이 세부 사항을 완성하지 못하고 암으로 사망함으로서 생물학자들에게 주목받지 못하다가 노이만 사후 DNA의 발견자 중 한명인 크릭이 DNA, RNA, 단백질로 이루어진 유전의 핵심 원리(Central Dogma)를 발견함으로서 노이만의 증명이 옳았음을 확인하였습니다. 노이만의 증명은 나중에 동료 버크스가 1966년에 세부사항을 완성시켜 출판하였으며, 이후 생명체를 자기복제하는 시스템으로 보는 그의 관점은 분자생물학자와 컴퓨터공학자들에게 지대한 영향을 미쳐, 인공지능 학문의 기초가 됩니다.

그 외에도 그는 컴퓨터를 이용하여 원자폭탄이 폭발할 때 중성자 충돌 시뮬레이션을 제작하기도 하고, 원자폭탄 개발에 필수적인 '고폭발성 렌즈'를 개발하기도 했으며, 그의 전공인 수학 분야에서도 작용소환론, 연속기하 등의 고등 수학 개념을 창시하였습니다.

그는 2차대전 한가운데의 미국에서 왕성하게 활동하던 학자였고, 덕분에 맨해튼 프로젝트 외에도 군의 자문역을 많이 맡게 되는데, 그의 연구 주제가 컴퓨터, 게임 이론, 원자폭탄 개발 등 군에 연관된 주제가 많으며, 그 주제가 대단히 다양한 점도 그 때문입니다.

천재 수학자답게, 그는 괴팍하면서도 유머러스한 일면을 드러내는 일화가 많습니다.
그는 운전을 잘 하지 못하는 것으로도 유명한데 교통사고 뒤 진술서에 이렇게 적었다고 합니다 : "내가 길을 내려가고 있었다. 오른쪽의 가로수들은 시속 6마일의 규칙적인 속도로 나를 스쳐가고 있었다. 갑자기 그 중 하나가 내 길을 막았다."
그는 수와 관련된 그의 능력을 자랑하기를 좋아하였습니다. 그의 첫 번째 컴퓨터 EDSAC이 완성되어서 시험을 하게되자 누군가가 이런 문제를 냈습니다. "오른쪽에서 4번째 자리수가 7인 가장 작은 2의 지수는 얼마인가?" 컴퓨터와 폰노이만은 동시에 문제 풀기를 시작하였고 결국 폰노이만이 먼저 풀어서 승리하였습니다.
하루는 폰노이만에게 이런 질문을 하였습니다. "현대 수학은 너무나 광범위하여서 누구도 그 아주 작은 일부분 밖에 알지 못한다고 합니다. 폰노이만 선생님은 수학에 대하여 자신이 어느 정도 알고 계신다고 생각하십니까?" 그는 아주 신중하게 한참을 생각하더니, 대답하였습니다. "28퍼센트".